cho hình chóp S.ABCD. ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB=DC=a, AB = 2a. SA vuông góc vs mặt phẳng ABCD. SA= \(2*sqrt3/3\)
Tính góc giữa: a, DC và SB b, SD và BC
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tại A và D, S A ⊥ ( A B C D ) . Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 45 o . E là trung điểm của SD, A B = 2 a , A D = D C = a . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACE)
A . 2 a 3 .
B . 4 a 3 .
C. a
D . 3 a 4 .
Cho hình chóp S . A B C D có đáy là hình vuông tại A và D, S A ⊥ A B C D . Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 45 o . E là trung điểm của SD, A B = 2 a , A D = D C = a . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng A C E
A. 2 a 3
B. 4 a 3
C. a
D. 3 a 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a, S A = a 2 , S A ⊥ ( A B C D ) . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
A. 3 3
B. 5 3
C. 6 3
D. 7 3
Đáp án C.
Kẻ C H ⊥ A B .
Bằng tính toán hình thang vuông thông thương ta có được:
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).
b) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính tanφ.
c) Gọi (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định (α) và xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α)
a) Ta có:
⇒ (SCD) ⊥ (SAD)
Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì DI // CB và DI ⊥ CA nên AC ⊥ CB. Do đó CB ⊥ (SAC).
Vậy (SBC) ⊥ (SAC).
b) Ta có:
c)
Vậy (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của (α) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng a√2. Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có SH ⊥ DI và .
Tam giác SDI có diện tích:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. SA=a căn (3), AB=2a, AD=DC=a. Gọi I là trung điểm AB. SA vuông góc với (ABCD) a. Tính góc giữa mp (SDC) và mp (ABCD) b. Tính góc giữa mp (SDI) và mp (ABCD) c. CM (SCI) vuông góc với (SAB) d. CM (SBC) vuông góc với (SAC)
c.
Từ câu b ta có AICD là hình vuông \(\Rightarrow CI\perp AB\)
Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CI\)
\(\Rightarrow CI\perp\left(SAB\right)\)
Lại có \(CI\in\left(SCI\right)\Rightarrow\left(SCI\right)\perp\left(SAB\right)\)
d.
I là trung điểm AB \(\Rightarrow CI\) là trung tuyến ứng với AB
Lại có \(CI=AD=a\) (AICD là hình vuông) \(\Rightarrow CI=\dfrac{1}{2}AB\)
\(\Rightarrow\Delta ACB\) vuông tại C
\(\Rightarrow BC\perp AC\) (1)
Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)
\(BC\in\left(SBC\right)\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SAC\right)\)
a.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)
Mà \(CD=\left(SCD\right)\cap\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)
\(tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SDA}=60^0\)
b.
Gọi E là giao điểm AC và DI
I là trung điểm AB \(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}AB=a\Rightarrow AI=DC\)
\(\Rightarrow AICD\) là hình bình hành
Mà \(\widehat{A}=90^0\Rightarrow AICD\) là hình chữ nhật
\(AI=AD=a\) (hai cạnh kề bằng nhau) \(\Rightarrow AICD\) là hình vuông
\(\Rightarrow AC\perp DI\) tại E
Lại có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp DI\Rightarrow DI\perp\left(SAE\right)\)
Mà \(DI=\left(SDI\right)\cap\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SEA}\) là góc giữa (SDI) và (ABCD)
\(AE=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AD^2+CD^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{SEA}=\dfrac{SA}{AE}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow\widehat{SEA}\approx50^046'\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC= a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD
A. 6 a 6
B. 6 a 2
C. 6 a 3
D. 3 a 3
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB=2AD, AD=DC, BC=a√2. ∆SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đág. SA hợp với đáy 1 góc 45°. Tính d(SA;BC)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a. Biết SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD. Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).
A. 5 5
B. 55 10
C. 3 5 10
Chọn C
Ta gọi E, F lần lượt là trung điểm của SC, AB
Ta có ME//NF(do cùng song song với BC. Nên tứ giác MENF là hình thang, và
hay tứ giác MENF là hình thang vuông tại M, F
Ta có: hay E là hình chiếu vuông góc của N lên (SAC)
Từ đó ta có được, góc giữa MN và (SAC) là góc giữa MN và CI
Suy ra, gọi α là góc giữa MN và (SAC) thì
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại B. AB=BC=a, AD=2a. Biết SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA=a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm SB,CD. Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)
A. 5 5
B. 55 10
C. 3 5 10
D. 2 5 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD
A. 6 a 6
B. 6 a 2
C. 6 a 3
D. 3 a 3
Cách 1:
Gọi I là trung điểm của cạnh AD.
∆ A B C vuông cân tại B, ∆ I C D vuông cân tại I và có AB=IC=a nên A C = C D = a 2
Khi đó A C 2 + C D 2 = A D 2 nên ∆ A C D vuông cân tại C.
Trong (ABCD), dựng hình vuông ACDE. Trong ∆ S A E , kẻ A H ⊥ S E ( 1 )
Ta có
E D ⊥ S A E D ⊥ A E ⇒ E D ⊥ ( S A E ) ⇒ E D ⊥ A H ( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra A H ⊥ ( S D E )
Vì A C / / E D nên
d A C , S D = d A C , S D E = d A ; S D E = A H
Trong ∆ S A E , 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A E 2
⇔ A H = S A . A E S A 2 = A E 2 ⇔ A H = a . a . 2 a 2 + a 2 ) 2 = 6 a 3
Vậy d A C , S D = 6 a 3
Cách 2:
Dễ thấy D C ⊥ ( S A C ) . Trên mặt phẳng (ABCD)
dựng: A G / / C D , D G / / A C , D G ∩ A B = E
Dễ dàng chứng minh được: S.AED là tam diện vuông (1)
Tính được: AE=AD=2a.
Mà A C / / ( S D E )
⇒ d A C , S D = d A C , S D E = d A , S D E = A H
Với AH là đoạn thẳng dựng từ A vuông góc với mặt phẳng (ADE)
Ta có: 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A E 2 + 1 A D 2
⇒ A H = 6 a 3
Cách 3:
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz
Khi đó A ( 0 ; 0 ; 0 ) ; C ( a ; a ; 0 ) ;
D ( 0 ; 2 a ; 0 ) ; S ( 0 ; 0 ; a )
Do đó A C ⇀ = ( a ; a ; 0 ) ; S D ⇀ = ( 0 ; 2 a ; - a ) ; S A ⇀ = ( 0 ; 0 ; - a ) ;
và A C ⇀ ; S D ⇀ = ( - a ; a ; 2 a )
Ta có d A C , S D = A C ⇀ ; S D ⇀ . S A ⇀ A C ; ⇀ S D ⇀
= - a . 0 + a . 0 + 2 a . ( - a ) - a 2 + a 2 + 2 a 2 = 6 a 3
Chọn đáp án C.